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      匯上優(yōu)課 安陽(yáng)勵(lì)學(xué)個(gè)性化培訓(xùn)學(xué)校 初中素養(yǎng) 常見(jiàn)數(shù)學(xué)證明題方法有哪些

      常見(jiàn)數(shù)學(xué)證明題方法有哪些

      2022-01-11 17:10分類(lèi):初中素養(yǎng)閱讀:5607 分享

      常見(jiàn)數(shù)學(xué)證明題方法有哪些?數(shù)學(xué)證明題首先要弄清題意,對(duì)于文字型”數(shù)學(xué)證明題,既沒(méi)有圖形,也無(wú)直觀的已知與求證。如何弄清題意呢?根據(jù)命題的定義可知,命題由條件與結(jié)論兩部分組成,因此區(qū)分命題的條件與結(jié)論至關(guān)重要,是解題成敗的關(guān)鍵。今天小編就具體來(lái)說(shuō)說(shuō)常見(jiàn)數(shù)學(xué)證明題方法有哪些。

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      證明方法一

      分析綜合法。

      分析綜合法也就是要逆向推理,從題目要你證明的結(jié)論出發(fā)往回推理??纯唇Y(jié)論是要證明角相等,還是邊相等,等等,如證明角相等的方法有(1.對(duì)頂角相等2.平行線里同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等3.余角、補(bǔ)角定理4.角平分線定義5.等腰三角形6.全等三角形的對(duì)應(yīng)角等等方法。)結(jié)合題意選出其中的一種方法,然后再考慮用這種方法證明還缺少哪些條件,把題目轉(zhuǎn)換成證明其他的結(jié)論,通常缺少的條件會(huì)在第三步引申出的條件和題目中出現(xiàn),這時(shí)再把這些條件綜合在一起,很條理的寫(xiě)出證明過(guò)程。

      這里的記有兩層意思。第一層意思是要標(biāo)記,在讀題的時(shí)候每個(gè)條件,你要在所給的圖形中標(biāo)記出來(lái)。如給出對(duì)邊相等,就用邊相等的符號(hào)來(lái)表示。第二層意思是要牢記,題目給出的條件不僅要標(biāo)記,還要記在腦海中,做到不看題,就可以把題目復(fù)述出來(lái)。

      難度大一點(diǎn)的題目往往把一些條件隱藏起來(lái),所以我們要會(huì)引申,那么這里的引申就需要平時(shí)的積累,平時(shí)在課堂上學(xué)的基本知識(shí)點(diǎn)掌握牢固,平時(shí)訓(xùn)練的一些特殊圖形要熟記,在審題與記的時(shí)候要想到由這些條件你還可以得到哪些結(jié)論,然后在圖形旁邊標(biāo)注,雖然有些條件在證明時(shí)可能用不上,但是這樣長(zhǎng)期的積累,便于以后難題的學(xué)習(xí)。

      證明方法二

      逆推法

      從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題,該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問(wèn)題:即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需借助導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系,正常情況只需一階導(dǎo)的符號(hào)就可判斷函數(shù)的單調(diào)性,非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所 舉出的例子就屬非正常情況),這時(shí)需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,再用一階導(dǎo)的符號(hào)判定原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性,從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè) F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。

      借助幾何意義尋求證明思路

      一個(gè)證明題,大多時(shí)候是能用其幾何意義來(lái)正確解釋的,當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題,可以在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出滿(mǎn)足題設(shè)條件的函數(shù)草圖,再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn):兩個(gè)函數(shù)除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數(shù)值相等的點(diǎn),那就是兩個(gè)函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)(正確審題:兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn))之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn),兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題,只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及 y=1-x在[0,1]上的圖形就立刻能看到兩個(gè)函數(shù)圖形有交點(diǎn),這就是所證結(jié)論,重要的是寫(xiě)出推理過(guò)程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反,也就是差函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)的值是異號(hào)的,零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),這就證得所需結(jié)果。

      證明方法三

      解數(shù)學(xué)題時(shí),把某個(gè)式子看成一個(gè)整體,用一個(gè)變量去代替它,從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對(duì)象,將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,變得容易處理。換元法又稱(chēng)輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量,可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái),隱含的條件顯露出來(lái),或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)。或者變?yōu)槭煜さ男问?,把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式,在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。

      換元的方法有:局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱(chēng)整體換元,是在已知或者未知中,某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn),而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題,當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式:4 +2 -2≥0,先變形為設(shè)2 =t(t>0),而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問(wèn)題。三角換元,應(yīng)用于去根號(hào),或者變換為三角形式易求時(shí),主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y= + 的值域時(shí),易發(fā)現(xiàn)x∈[0,1],設(shè)x=sin α ,α∈[0, ],問(wèn)題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè),其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系,又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件x +y =r (r>0)時(shí),則可作三角代換x=rcosθ、y=rsinθ化為三角問(wèn)題。均值換元,如遇到x+y=S形式時(shí),設(shè)x= +t,y= -t等等。我們使用換元法時(shí),要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則,換元后要注重新變量范圍的選取,一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍,不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t>0和α∈[0, ]。

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