復(fù)數(shù)作為數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，不僅在理論數(shù)學(xué)中占有重要地位，也在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用。在高中數(shù)學(xué)中，復(fù)數(shù)是一個(gè)重要的考點(diǎn)，要求學(xué)生掌握復(fù)數(shù)的基本概念、性質(zhì)和運(yùn)算方法。下面將介紹高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)的重要考點(diǎn)，幫助學(xué)生更好地掌握復(fù)數(shù)知識(shí)。

一、基本概念

1.定義：

形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)(a，b∈R)，其中a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部

2.分類(lèi)：

實(shí)數(shù)：當(dāng)b=0時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi為實(shí)數(shù)

虛數(shù)：當(dāng)b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi為虛數(shù)

純虛數(shù)：當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi為純虛數(shù)

3.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：

如果兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等且虛部相等就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.

例如：如果a+bi=c+di，則a=c且b=d，另外當(dāng)a+bi=0，則a=0且b=0

備注：

兩個(gè)虛數(shù)(b≠0)是不能比較大小的，即使是純虛數(shù)也是不能比較大小的，具體舉例如下：

①3+i與8+2i，雖然后面的虛數(shù)的實(shí)部跟虛部都是大于前面的虛數(shù)，但是仍不能比較大小。

②2+i與4+2i雖然后面的虛數(shù)是前面虛數(shù)的2倍，但是不能比較大小

③3i跟5i，兩個(gè)都是純虛數(shù)，但是不能比較大小的

4.共軛復(fù)數(shù)：

當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).

二、幾何意義

1.復(fù)平面定義：

建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，其中x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.

實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).

2.幾何意義：

復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(a,b)以及平面向量,其中a，b∈R，是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系(復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，有序?qū)崝?shù)對(duì)既可以表示一個(gè)點(diǎn)，也可以表示一個(gè)平面向量)

三、復(fù)數(shù)的性質(zhì)

共軛復(fù)數(shù)：若復(fù)數(shù)為a+bi，則其共軛復(fù)數(shù)為a-bi。共軛復(fù)數(shù)在復(fù)數(shù)運(yùn)算中有著重要的應(yīng)用，例如求復(fù)數(shù)的模和輻角等。

模：復(fù)數(shù)的模定義為|z|=√(a²+b²)，其中z=a+bi。模是復(fù)數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，它表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上到原點(diǎn)的距離。

輻角：復(fù)數(shù)的輻角是指復(fù)數(shù)在復(fù)平面上與正實(shí)軸之間的夾角，用arg(z)表示。輻角具有多值性，但通常取主值，即-π<arg(z)≤π。

四、復(fù)數(shù)運(yùn)算

1.加、減、乘、除運(yùn)算：

設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i

z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i

z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i

z1·z2=(a1+b1i)·(a2+b2i)

=a1a2+a1b2i+a2b1i+b1b2i2

=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i

2.其他結(jié)論

①i1=i, i2=-1，i3=-i，i4=1

備注：求in只需將n除以4看余數(shù)是幾就是i的幾次方

②in+in+1+in+2+in+3=0

③(1+i)2=2i，(1-i)2=-2i

五、復(fù)數(shù)的應(yīng)用

復(fù)數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，例如在電路分析、信號(hào)處理、量子物理等領(lǐng)域中都有著重要的應(yīng)用。在高中數(shù)學(xué)中，復(fù)數(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用是求解一元二次方程，當(dāng)方程的判別式Δ<0時(shí)，方程的解為復(fù)數(shù)，這時(shí)就需要利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解。

六、命題特征

三年三考，每年一題，復(fù)數(shù)是以考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算為主，偶爾與其他知識(shí)交匯，難度較小。考查代數(shù)運(yùn)算的同時(shí)，主要涉及考查的概念有：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義。

七、考點(diǎn)頻度

高頻考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算。

中頻考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。

低頻考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義。

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